TransformationNaturelle.py

from Foncteur import Foncteur
from config import *
import itertools
from Interaction import Interaction
from CommaCategorie import ObjetCommaCategorie
from Categorie import Categorie, mise_en_cache_call
from Morphisme import Morphisme
from Diagramme import Diagramme
from EnsFinis import Application, EnsFinis
if GRAPHVIZ_ENABLED:
    from graphviz import Digraph
from typing import *

class TransformationNaturelle(Interaction):
    """TransformationNaturelle peut être abrégé TransfoNat.
    Une transformation naturelle d'un foncteur à un autre.
    Soit F et G deux foncteurs de C dans D.
    Une transformation naturelle t de F vers G est une fonction des objets c de C vers les flèches D(F(c),G(c)) telle que
    pour deux objets de C, c et c', et pour toute flèche f de c à c', on a G(f) o t(c) = t(c') o F(f)
    (cf. Mac Lane "Categories for the working mathematician" p.16)"""
    nb_viz = 0
    __id = 0
    
    def __init__(self, foncteur_source:Foncteur, foncteur_cible:Foncteur, composantes:dict, nom:str = None):
        """
        `foncteur_source` et `foncteur_cible` deux foncteurs de C vers D.
        `composantes` est un dictionnaire {`c`:`morph`} où `c` est un objet de C, `morph` un morphisme de B de foncteur_source(`c`) vers foncteur_cible(`c`)."""
        self.__C = foncteur_source.source
        self.__D = foncteur_source.cible
        self.__F = foncteur_source
        self.__G = foncteur_cible
        
        self._composantes = composantes
        Interaction.__init__(self,foncteur_source, foncteur_cible, {ObjetCommaCategorie(c,composantes[c],c) for c in composantes},"TN"+str(self.__id) if nom == None else nom)
        self.__id = TransfoNat.__id #pour la transformation en str
        TransfoNat.__id += 1
        if TOUJOURS_VERIFIER_COHERENCE:
            self.verifier_coherence()
        
    def __call__(self, obj:Any) -> Morphisme:
        """Renvoie l'image d'un objet de C.
        L'image d'un objet i de C est une composante qui fait la "translation" du premier objet indexé par i vers le second objet indexé par i."""
        if obj not in self.__C.objets:
            raise Exception("L'objet "+str(obj)+" n'appartient pas à la categorie C = "+str(self.__C))
        return self._composantes[obj]
            
    def __eq__(self, other:'TransformationNaturelle') -> bool:
        if not issubclass(type(other),TransformationNaturelle):
            raise TypeError("Tentative de comparaison avec un objet de type inconnu "+str(other))
        return self.source == other.source and self.cible == other.cible and self._composantes == other._composantes
    
    def __hash__(self) -> int:
        return hash((self.source,self.cible,frozenset(self._composantes.items())))
        
    def __matmul__(self, other:'TransformationNaturelle') -> 'TransformationNaturelle':
        """Composition verticale des transformations naturelles."""
        return TransformationNaturelle(other.source,self.cible,{c:self(c)@other(c) for c in self.__C.objets})
       
    def verifier_coherence(self):
        if self.source.source != self.cible.source:
            raise Exception("Incoherence TransformationNaturelle : foncteur sources et cible n'ont pas la meme categorie source "+str(self.source)+'  '+str(self.cible))
        if self.source.cible != self.cible.cible:
            raise Exception("Incoherence TransformationNaturelle : les foncteurs source et cible n'ont pas la meme categorie cible "++str(self.source)+'  '+str(self.cible))
        
        if set(self._composantes.keys()) != self.__C.objets:
            raise Exception("Incoherence TransformationNaturelle : les objets de la categorie C ne sont pas les memes que les antecedants des composantes\n"+\
            str(self._composantes)+"\n"+str(self.__C.objets))
        
        for source,cible in itertools.product(self.__C.objets,repeat=2):
            for f in self.__C({source},{cible}):
                c1,c2 = [f.source,f.cible]
                if self.__G(f)@self(c1) != self(c2)@self.__F(f):
                    raise Exception("Incoherence TransformationNaturelle :  la commutativité des diagrammes est pas respectee\n"+\
                    "Sf = "+str(self.__F(f))+"\ntC' = "+str(self(c2))+"\ntC = "+str(self(c1))+"\nTf = "+str(self.__G(f))+\
                    "\ntC' o Sf != Tf o tC : "+str(self(c2)@self.__F(f)) + " != "+str(self.__G(f)@self(c1)))
                    
    
TransfoNat = TransformationNaturelle
    
def test_TransfoNat():
    from GrapheDeComposition import GC,MGC
    from Diagramme import Triangle,DiagrammeIdentite
    
    gc = GC()
    gc |= set("ABCDEF")
    f,g,h,i,j,k,l = [MGC('A','B','f'),MGC('B','C','g'),MGC('D','E','h'),MGC('E','F','i'),MGC('A','D','j'),MGC('B','E','k'),MGC('C','F','l')]
    gc |= {f,g,h,i,j,k,l}
    gc.transformer_graphviz()
    
    diag_identite = DiagrammeIdentite(gc)
    diag_identite.faire_commuter()
    
    d1 = Triangle(gc,"ABC",[f,g,g@f])
    d2 = Triangle(gc,"DEF",[h,i,i@h])
    d1.transformer_graphviz()
    d2.transformer_graphviz()
    
    tn = TransfoNat(d1,d2,{1:j,2:k,3:l})
    tn.transformer_graphviz()
    
    d3 = Triangle(gc,"EEF",[gc.identite('E'),i,i])
    tn2 = TransfoNat(d2,d3,{1:h,2:gc.identite('E'),3:gc.identite('F')})
    tn2.transformer_graphviz()
    
    tn3 = tn2@tn
    tn3.transformer_graphviz()
    
class CategorieTransformationsNaturelles(Categorie):
    """CategorieTransformationsNaturelles peut être abrégé en CatTransfoNat.
    Cette catégorie a pour objet des diagrammes D_i de J dans C.
    Tous les diagrammes ont la même catégorie indexante et la même catégorie indexée.
    Une flèche de cette catégorie est une transformation naturelle entre deux diagrammes.
    """
    
    def identite(self, diag:Diagramme) -> TransfoNat:
        return TransfoNat(diag,diag,{o:diag.cible.identite(diag(o)) for o in diag.source.objets})
                
    def __call__(self, sources:set, cibles:set) -> Generator[TransfoNat,None,None]:
        if len(sources) > 0:
            J = list(sources)[0].source
            C = list(sources)[0].cible
        for source in sources: 
            for cible in cibles:
                # on cherche toutes les transformations naturelles du diagramme source:J->C vers le diagramme cible:J->C
                obj_index = J.objets
                fleches_arrivee = frozenset(C({source(o) for o in set(J.objets)},{cible(o) for o in set(J.objets)}))
                # flèches de l'image de a vers l'image de b
                
                ens = EnsFinis({obj_index,fleches_arrivee})
                for app in ens({obj_index},{fleches_arrivee}):
                    for fleche_index in J[abs(J),abs(J)]:
                        if app(fleche_index.source).cible != cible(fleche_index).source:
                            break
                        if source(fleche_index).cible != app(fleche_index.cible).source:
                            break
                        if cible(fleche_index)@app(fleche_index.source) != app(fleche_index.cible)@source(fleche_index):
                            break
                    else:
                        yield TransfoNat(source,cible,app.as_dict())

CatTransfoNat = CategorieTransformationsNaturelles

def test_CatTransfoNat():
    from GrapheDeComposition import GC,MGC
    from Diagramme import Triangle,DiagrammeIdentite
    
    gc = GC()
    gc |= set("ABCDEF")
    f,g,h,i,j,k,l = [MGC('A','B','f'),MGC('B','C','g'),MGC('D','E','h'),MGC('E','F','i'),MGC('A','D','j'),MGC('B','E','k'),MGC('C','F','l')]
    gc |= {f,g,h,i,j,k,l}
    
    diag_identite = DiagrammeIdentite(gc)
    diag_identite.faire_commuter()
    
    d1 = Triangle(gc,"ABC",[f,g,g@f])
    d2 = Triangle(gc,"DEF",[h,i,i@h])
    d1.transformer_graphviz()
    d2.transformer_graphviz()
    
    ctn = CatTransfoNat({d1,d2})
    ctn.transformer_graphviz()
    
    
    d3 = Triangle(gc,"EEF",[gc.identite('E'),i,i])
    ctn |= {d3}
    ctn.transformer_graphviz()
    
    for t_n in ctn(abs(ctn),abs(ctn)):
        t_n.transformer_graphviz()
    
if __name__ == '__main__':
    test_TransfoNat()
    test_CatTransfoNat()